Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
202530354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 38, 60, 38, 33, 16, 59, 58.

n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 88.

μ = 100σ = 15x = 88
z =
3.ІмовірністьСередня
xp(x)00,310,2520,1530,2540,05μ = 1,5

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,25, 0,05
σ =
4.ІмовірністьСкладна
n = 8, p = 0,7: P(X = 2) = ?k012345678

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 8p = 0,7k = 2
P =
5.Нормальний розподілСередня
169,6183,95P = ?

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 169,6 і 183,95 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x1 = 169,6x2 = 183,95
P =
6.Нормальний розподілСкладна
157164171178185192199cmниз 80%

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 80% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%
x = cm
7.Довірчі інтервалиСередня
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 141 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 129,5 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 141 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 129,5 hσ₂ = 14 h95%
E = h
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 24E = 199%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,9901,99

Вибірка з 81 студентів має середній бал 79,67 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79,67s = 20n = 81
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,64501,645

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 101,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 101,2σ = 5n = 8190%
L =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy234334438540644742xy246354045

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy147217922096231122613629148xy15202530100150ŷ = 124

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 124?

n = 6ŷ = 124
x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,58

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 302/7 = 43,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,143)² + 16,86² + (−5,143)² + (−10,14)² + (−27,14)² + 15,86² + 14,86² = 1649

Стандартне відхилення

s = √(1649/6) = 16,58

Відповідь

s = 16,58
2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (88 − 100)/15 = −0,8

Відповідь

z = −0,8
3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,285

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,05 = 1,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,05 = 3,9

Дисперсія

Var(X) = 3,9 − 1,5² = 1,65
σ = √1,65 = 1,285

Відповідь

σ = 1,285
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,01

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 2) = 28·0,72·0,36 = 28·0,49·0,000729 = 0,01

Відповідь

P = 0,01
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6873

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2
z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Площа між

P = Φ(0,85) − Φ(−1,2) = 0,8023 − 0,1151 = 0,6873

Відповідь

P = 0,6873
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 183,9 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Відповідь

x = 183,9 cm
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,765 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 141 − 129,5 = 11,5

Стандартна похибка

SE = √(15²/60 + 14²/40) = 2,941

Похибка оцінки

E = 1,96·2,941 = 5,765

Відповідь

E = 5,765 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 3823

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·24/1)² = 3822

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 3823

Відповідь

n = 3823
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,102

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерію

t = (79,67 − 75)/2,222 = 2,102

Відповідь

t = 2,102
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 100,3

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·5/√81 = 0,9139

Межа інтервалу

L = 101,2 − 0,9139 = 100,3

Відповідь

L = 100,3
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9316

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 232/6 = 38,67

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 85,33

Коефіцієнт кореляції

r = 36/√(17,5·85,33) = 0,9316

Відповідь

r = 0,9316
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 24,42

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 656/6 = 109,3

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 792

Лінія регресії

b = 792/157,5 = 5,029
a = 109,3 − 5,029·21,5 = 1,219
ŷ = 1,219 + 5,029·x

Розв’яжіть щодо x

x = (124 − 1,219)/5,029 = 24,42

Відповідь

x = 24,42

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1