Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P = 15 kNM = 30 kN·mABRB​ = ?4 m3 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 4 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 10 mP = 15 kN у 7 mM = 30 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 4 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?3 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 5 mP = 35 kN у 3 mw = 4 kN/m від 3 до 5 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 50 kNP2​ = 35 kNAB2 m1 m7 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 10 mP1 = 50 kN у 2 mP2 = 35 kN у 3 m
Mmax = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
15 kN/m50 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 6 m55 kN @ 2 m15 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB40 kN4 m1 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 40 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB60 kN20 kN4 m1 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 60 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 2 kN/mP = 23 kNABδ1,5 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 23 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 2 kNABδ5 m3 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 3 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 2 kNb = 3 mL = 8 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2 md = 20 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 5 kNL = 2,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 5 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 5 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 13,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣMA = 0: RB·10 − 15·7 − 30 = 0
RB = 135/10 = 13,5 kN

Рівновага по вертикалі

RA = 15 − 13,5 = 1,5 kN

Відповідь

RB = 13,5 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 27,4 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​RB​3 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·3 + 4·2·4
RB = 137/5 = 27,4 kN
ΣFy = 0: RA = 43 − 27,4 = 15,6 kN

Відповідь

RB = 27,4 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 143,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·10 = 50·2 + 35·3
RB = 205/10 = 20,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 20,5 = 64,5 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·2 = 64,5·2 = 129 kN·m
під P2: M = RB·7 = 20,5·7 = 143,5 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 143,5 kN·m (під P2)

Відповідь

Mmax = 143,5 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 32,5 kN, R2 = 132,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 25, MC = 35, MD = −25, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = −100 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −18,03 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,5547 = −18,03 kN

Відповідь

FBC = −18,03 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 26,25 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB60 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 + 20·4 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 35 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −35/0,8 = −43,75 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43,75)·0,6 = 26,25 kN

Відповідь

FAC = 26,25 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 43,29 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 23000·1500³/(3·6,27 × 10¹¹) = 41,27 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 2,019 mm

Додайте

δ = 41,27 + 2,019 = 43,29 mm

Відповідь

δ = 43,29 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 31,3 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 2000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 31,3 mm

Відповідь

δmax = 31,3 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 15,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15,5 kN

Відповідь

Pcr = 15,5 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 55,1 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 55,1 mm

Відповідь

d = 55,1 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 363, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis