Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 15 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m0,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 4 mP1 = 15 kN у 2 mP2 = 60 kN у 2,5 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 15 kN, 60°Q = 30 kNABRA​ = ?0,5 m2,5 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 3 m від A під кутом 60° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 0,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.

L = 5 mP = 15 kN у 3 m, θ = 60°Q = 30 kN у 0,5 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
4 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
12 kN/m25 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 6 m10 kN @ 1 m12 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN6 m4 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB55 kN10 kN8 m2 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN ←
FBC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 4 kN/mABθ4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогин балкиСкладна
w = 4 kN/mP = 5 kNδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 5 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 m40 × 100 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 6 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 45 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 15 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​2 m0,5 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·4 = 15·2 + 60·2,5
RB = 180/4 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 45 = 30 kN

Відповідь

RB = 45 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 33,06 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 15·sin 60° = 12,99 kN
Ph = 15·cos 60° = 7,5 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·5 = 12,99·3 + 30·0,5 → RB = 10,79 kN
Ay = 12,99 + 30 − 10,79 = 32,2 kN
Ax = Ph = 7,5 kN

Повна реакція в A

RA = √(7,5² + 32,2²) = 33,06 kN

Відповідь

RA = 33,06 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 27 kN, R2 = 42 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 25, MC = 46, MD = 63, ME = 76 kN·m, MF = 40, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = 76 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 19 kN, R2 = 64 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 13, MC = 4, MD = −17, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = −50 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −13,89 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·4 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 16,67 = 8,333 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8,333/0,6 = −13,89 kN

Відповідь

FAB = −13,89 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −35,58 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB55 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·2 − 10·2 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11,25 = 43,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,3162 = −35,58 kN

Відповідь

FBC = −35,58 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,004233 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 4·4000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,004233 rad

Відповідь

θA = 0,004233 rad

Це 0,2425°.

8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 4,136 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 5000·3000³/(48·1,7 × 10¹²) = 1,654 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 2,482 mm

Додайте

δmax = 1,654 + 2,482 = 4,136 mm

Відповідь

δmax = 4,136 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 467,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1500² = 467892 N = 467,9 kN

Відповідь

Pcr = 467,9 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 11,99 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12,5 = 240

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Відповідь

σcr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis