Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 20 kN у 2 mP₂ = 55 kN у 7 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP = 35 kN у 1,5 mw = 2 kN/m від 1 до 6 m

R_A = kN

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mP₁ = 60 kN у 2 mP₂ = 45 kN у 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_x = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 7 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 50 kN у 4 mw = 6 kN/m від 0 до 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 13 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 135 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 135 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 53,13 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 55·7

R_B = 425/8 = 53,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 53,13 = 21,88 kN

Відповідь

R_B = 53,13 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 30,42 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1,5 + 2·5·3,5

R_B = 87,5/6 = 14,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 14,58 = 30,42 kN

Відповідь

R_A = 30,42 kN

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 78,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·2 + 45·9

R_B = 525/8 = 65,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 65,63 = 39,38 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·2 = 39,38·2 = 78,75 kN·m

Відповідь

M_x = 78,75 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 123 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·4 + 6·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 50 = 60 kN

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 60·7 − 50·(7 − 4) − 6·7·3,5 = 123 kN·m

Відповідь

M_x = 123 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 32,5 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 3,536 kN (T), DG: 3,536 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −17,03 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·4 − 5·3 → C_y = 14,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 14,17 = 10,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14,17/0,8321 = −17,03 kN

Відповідь

F_BC = −17,03 kN (стиск)

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 37,52 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 13000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 13000·2000³/(3·9,24 × 10¹¹) = 37,52 mm

Відповідь

δ_P = 37,52 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 51,43 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·4000⁴/(384·70000·11,11) = 5,143 × 10⁷ mm⁴

I_req = 51,43 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 51,43 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,454 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3,454 kN

Відповідь

P_cr = 3,454 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 57,78 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,78 mm

Відповідь

d = 57,78 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 138,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

2Задачі для практики

3Розчини

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

Відповідь

Вузол C

Перевірка методом вузлів

Відповідь

Опорні реакції

Вузол C

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин під силою

Відповідь

Обмеження прогину

Потрібний момент інерції

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Потрібна критична сила

Виразіть діаметр

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину