Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 10 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1 m2,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 5 mP1 = 10 kN у 1,5 mP2 = 10 kN у 2,5 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?1,5 m0,5 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 4 mP = 50 kN у 1,5 mw = 8 kN/m від 2 до 4 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 4 kN/mP = 80 kNABпереріз0,5 m3 m0,5 m

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 3,5 m від A. Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 80 kN у 3,5 mw = 4 kN/m від 0 до 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mP = 20 kNAB5 m5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 10 mP = 20 kN у 5 mw = 8 kN/m від 0 до 10 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN4 m3 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB50 kN30 kN5 m4 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mP = 11 kNABδ2 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 11 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 6 kN/mδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 1 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 6 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 8 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 10 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​1,5 m1 m2,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,5 + 10·2,5
RB = 40/5 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 8 = 12 kN

Відповідь

RB = 8 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 30,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1,5 + 8·2·3
RB = 123/4 = 30,75 kN
ΣFy = 0: RA = 66 − 30,75 = 35,25 kN

Відповідь

RB = 30,75 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = −264,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −80·3 = −240 kN·m
w: −4·3,5²/2 = −24,5 kN·m
Mx = −240 − 24,5 = −264,5 kN·m

Відповідь

Mx = −264,5 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 150 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 8·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN

Де V = 0?

V(5⁻) = RA − w·5 = 10 kN
V(5⁺) = 10 − 20 = −10 kN
Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 50·5 − 8·5²/2 = 150 kN·m

Відповідь

Mmax = 150 kN·m

Це в точці x = 5 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 4,688 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,9701 = −19,33 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19,33)·0,2425 = 4,688 kN

Відповідь

FAC = 4,688 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −49,19 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB50 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·4 − 30·2 → Cy = 28 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 28 = 22 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22/0,4472 = −49,19 kN

Відповідь

FAB = −49,19 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 1,854 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 11000·2000³/(3·3,2 × 10¹³) = 0,9167 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 0,9375 mm

Додайте

δ = 0,9167 + 0,9375 = 1,854 mm

Відповідь

δ = 1,854 mm
8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·3000⁴/(384·200000·8,333) = 3,797 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 3,797 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 151,4 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Відповідь

Pcr = 151,4 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 7,676 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/20 = 300

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Відповідь

σcr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis