Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 8 kN/mP = 70 kNABRA​ = ?4 m4 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 4 m і зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію RA у стіні.

L = 8 mP = 70 kN у 4 mw = 8 kN/m від 0 до 4 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​RB​ = ?2 m5 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 8 mP = 15 kN у 7 mw = 12 kN/m від 2 до 7 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
30 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 8 m35 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 10 kN/mABC8 m1,5 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент MB на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9,5 mw = 10 kN/m від 0 до 9,5 mопори в x = 0 і x = 8 m
MB = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABCDEFGH35 kN20 kN40 kN15 kN4 × 3 m4 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓D: 20 kN ↓F: 40 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент BG
  13. 13елемент DG
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH20 kN15 kN4 × 4 m4 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓F: 15 kN →
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент BG
  13. 13елемент DG
7.Прогин балкиСередня
P = 5 kNABδ3,5 m4,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 3,5 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 5 kNa = 3,5 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 2 kN/mABδ4,5 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm
hreq = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 6 m40 × 100 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 15 kNL = 1 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 15 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 15 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 102 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

Рівновага по вертикалі

RA = P + W = 70 + 32 = 102 kN

Відповідь

RA = 102 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 46,88 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​RB​2 m5 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·7 + 12·5·4,5
RB = 375/8 = 46,88 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 46,88 = 28,13 kN

Відповідь

RB = 46,88 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 15,83 kN, R2 = 49,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 31,67, MC = 63,33, MD = 95, ME = 126,7 kN·m, MF = 98,33, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = 126,7 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: MB = −11,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·9,5 = 95 kN, прикладена в x̄ = 4,75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·9,5·4,75
RB = 451,3/8 = 56,41 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 56,41 = 38,59 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

MB = −w·a²/2 = −10·1,5²/2 = −11,25 kN·m

Відповідь

MB = −11,25 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 48,75 kN (T), BC: 41,25 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 48,75 kN (C), GH: 33,75 kN (C), AF: 81,25 kN (C), HE: 56,25 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 12,5 kN (T), DG: 12,5 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 26,25 kN (T), BC: 17,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 8,75 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 8,75 kN (C), AF: 15,91 kN (C), HE: 12,37 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 12,37 kN (T), DG: 12,37 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
7.Прогин балки

Відповідь: δP = 30,4 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, a = 3500 mm, b = 4500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·3500²·4500²/(3·1,7 × 10¹²·8000) = 30,4 mm

Відповідь

δP = 30,4 mm
8.Прогин балки

Відповідь: hreq = 173 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·15) = 6,472 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·6,472 × 10⁷/150)1/3 = 173 mm

Відповідь

hreq = 173 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 7,311 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·6000 = 12000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/12000² = 7311 N = 7,311 kN

Відповідь

Pcr = 7,311 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 36,92 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 36,92 mm

Відповідь

d = 36,92 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 216,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis