Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mP₁ = 50 kN у 1,5 mP₂ = 15 kN у 4 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 30 kN у 2 mw = 10 kN/m від 2 до 3 m

R_B = kN

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5,5 mP₁ = 30 kN у 1 mP₂ = 35 kN у 5,5 mопори в x = 0 і x = 4 m

M_x = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 15 kN у 1 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 60 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 38 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,5 + 15·4

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 27 = 38 kN

Відповідь

R_A = 38 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 21,25 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 10·1·2,5

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 21,25 = 18,75 kN

Відповідь

R_B = 21,25 kN

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 9,375 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 35·5,5

R_B = 222,5/4 = 55,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 55,63 = 9,375 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·1 = 9,375·1 = 9,375 kN·m

Відповідь

M_x = 9,375 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 32,06 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 3·8·4

R_B = 111/8 = 13,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 13,88 = 25,13 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 25,13·3,5 − 15·(3,5 − 1) − 3·3,5·1,75 = 32,06 kN·m

Відповідь

M_x = 32,06 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −15,63 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 12,5 = 37,5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,8 = −15,63 kN

Відповідь

F_BC = −15,63 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −50 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 − 30·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 30 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,6 = −50 kN

Відповідь

F_AB = −50 kN (стиск)

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 4,219 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 4,219 mm

Відповідь

δ = 4,219 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,736 × 10⁸ mm⁴

I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 51,56 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3500² = 51564 N = 51,56 kN

Відповідь

P_cr = 51,56 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 77,11 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Відповідь

σ_cr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

2Задачі для практики

3Розчини

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Вузол C

Відповідь

Опорні реакції

Вузол A

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин

Відповідь

Обмеження прогину

Потрібний момент інерції

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Найменший момент інерції

Радіус інерції і гнучкість

Критичне напруження

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину