Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​2 m0,5 m2,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 5 mP1 = 40 kN у 2 mP2 = 50 kN у 2,5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​4 m4 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 8 mP = 10 kN у 4 mw = 5 kN/m від 4 до 8 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 12 kN/mABпереріз2,5 m1,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 12 kN/m від 0 до 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mP = 70 kNAB1 m3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 4 mP = 70 kN у 1 mw = 12 kN/m від 0 до 4 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB35 kN8 m6 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 6 m від Aвертикальне навантаження = 35 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB25 kN25 kN4 m1 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN ←
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 4 kN/mδL = 4 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 20 kN/mδL = 6 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 1 md = 20 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 49 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​2 m0,5 m2,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 40·2 + 50·2,5
RB = 205/5 = 41 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 41 = 49 kN

Відповідь

RA = 49 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 10 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​RB​4 m4 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·4 + 5·4·6
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 20 = 10 kN

Відповідь

RA = 10 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 22,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24переріз2,5 m1,5 m

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 24·2,5 − 12·2,5·1,25 = 22,5 kN·m

Відповідь

Mx = 22,5 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 70,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 70·1 + 12·4·2
RB = 166/4 = 41,5 kN
ΣFy = 0: RA = 118 − 41,5 = 76,5 kN

Де V = 0?

V(1⁻) = RA − w·1 = 64,5 kN
V(1⁺) = 64,5 − 70 = −5,5 kN
Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

Mmax = RA·1 − w·1²/2 = 76,5·1 − 12·1²/2 = 70,5 kN·m

Відповідь

Mmax = 70,5 kN·m

Це в точці x = 1 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −15,77 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·6 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/7,211 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8,75/0,5547 = −15,77 kN

Відповідь

FAB = −15,77 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = −12,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 − 25·3 → Cy = −12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −12,5 = 37,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−12,5/0,7071 = 17,68 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(17,68)·0,7071 = −12,5 kN

Відповідь

FAC = −12,5 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 32,08 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 32,08 mm

Відповідь

δ = 32,08 mm
8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 1841 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,841 × 10⁹ mm⁴
Ireq = 1841 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 1841 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 16,82 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Відповідь

Pcr = 16,82 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 69,09 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·1000 = 500 mm
KL/r = 500/5 = 100

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Відповідь

σcr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis