Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 50 L містить 440 g газу (He) при 90 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 440 gM = 4,003 g/molV = 50 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (N₂) при 550 kPa і 110 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 28,01 g/molP = 550 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 70 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 60 °Ct: 30 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 3200 kJ теплоти від резервуара з температурою 750 °C і віддає 854 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 750 °CQ_H = 3200 kJQ_L = 854 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 20 °C, коли надворі 7 °C, і подає в будинок 4 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 20 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 4 kW

Ẇ_min = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 17 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,2. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 17r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 20. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1200 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 295 KT₃ = 1200 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 6637 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 440/4,003 = 109,9 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Тиск

P = nRT/V = 109,9·8,314·363,1/0,05 = 6637 kPa

Відповідь

P = 6637 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 4,836 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Густина

ρ = 550·28,01/(8,314·383,1) = 4,836 kg/m³

Відповідь

ρ = 4,836 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 32,61 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1,5·2,1·(160 − 70) = 283,5 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 283,5/(3·4,18) = 32,61 °C

Відповідь

t_out = 32,61 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 4,962 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1,5·2,44·(160 − 60) = 366 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·366 = 311,1 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 311,1/(4,18·15) = 4,962 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 4,962 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = −0,09684 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1023·854/3200 = 273,1 K = −0,09684 °C

Відповідь

T_L = −0,09684 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,1774 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293,1/(293,1 − 280,1) = 22,55

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 4/22,55 = 0,1774 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,1774 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 61,37 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Термічний ККД

η = 1 − 0,322·1,2 = 61,37%

Відповідь

η = 61,37%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 292,3 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 295·20^0,2857 = 694,3 K

T₄ = 1200/20^0,2857 = 509,9 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(694,3 − 295) = 401,3 kJ/kg

w_t = 1,005·(1200 − 509,9) = 693,6 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 693,6 − 401,3 = 292,3 kJ/kg

Відповідь

w_net = 292,3 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 57,86%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1