Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу
pV = nRT
Газова стала
R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон
p1V1/T1 = p2V2/T2
Молі
n = m/M
Температура
T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота
Q = ṁ·cp·ΔT
Прихована теплота
Q = ṁ·hfg
Змішування
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Вода
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД
η = W/QH = 1 − QC/QH
ККД Карно
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP холодильника
COPR = QC/W
COP теплового насоса
COPHP = QH/W = COPR + 1
Енергетичний баланс
QH = W + QC

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів
T2/T1 = rk−1
Ізоентропний процес, відношення тисків
T2/T1 = rp(k−1)/k
ККД циклу Отто
η = 1 − 1/rk−1
ККД циклу Дизеля
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ККД циклу Брайтона
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Підведена теплота
Отто: cv(T3 − T2) Дизель, Брайтон: cp(T3 − T2)
Корисна робота циклу Брайтона
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Ізоентропні ККД
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Холодне повітря
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня
110 g (N₂)P = 300 kPaT = 90 °CV = ?

Який об’єм V займає 110 g газу (N₂) при 300 kPa і 90 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 110 gM = 28,01 g/molP = 300 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Рівняння стану ідеального газуСкладна
Ar, M = 39,95 g/molP = 100 kPaT = 20 °Cρ = ?

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 100 kPa і 20 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 100 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Енергетичний балансСередня
гаряча сторонахолодна сторонаетанол · 130 °C80 °Cвода · 20 °Ct = ? °C

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході tout.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.Енергетичний балансСкладна
гаряча сторонахолодна сторонагліколева суміш · 120 °C60 °Cвода · 10 °C50 °C · ṁ = ?15% втрат

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Ct: 10 → 50 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %
ṁc = kg/s
5.Теплові машини й холодильникиСередня
TH​ = 475 °CTL​ = 20 °CEQH​ = 3700 kJQL​W = ?

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 475 °C і холодним при 20 °C. Вона отримує 3700 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу Wmax, яку вона могла б виконати.

TH = 475 °CTL = 20 °CQH = 3700 kJ
Wmax = kJ
6.Теплові машини й холодильникиСкладна
TH​ = 28 °CTL​ = 4 °CRQ̇H​Q̇L​ = 4 kWẆ = ?

Холодильник підтримує в холодній камері 4 °C на кухні при 28 °C, відводячи з камери теплоту 4 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇmin.

TH = 28 °CTL = 4 °CQ̇L = 4 kW
Ẇmin = kW
7.Газові цикли теплових двигунівСередня
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 17 і ступінь попереднього розширення rc = v₃/v₂ = 1,5. На початку стиснення повітря має температуру 290 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T3 в кінці підведення теплоти, у K.

r = 17rc = 1,5T1 = 290 Kk = 1,4
T3 = K
8.Газові цикли теплових двигунівСкладна
vP1234qin​qout​

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 8. Повітря надходить у компресор при 300 K, а в турбіну — при 1400 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу wnet на кілограм повітря, у kJ/kg.

rp = 8T1 = 300 KT3 = 1400 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 39,52 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 110/28,01 = 3,927 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 3,927·8,314·363,1/300 = 39,52 L

Відповідь

V = 39,52 L
2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,639 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Густина

ρ = 100·39,95/(8,314·293,1) = 1,639 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,639 kg/m³
3.Енергетичний баланс

Відповідь: tout = 41,89 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1,5·2,44·(130 − 80) = 183 kW

Теплота, отримана водою

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 183/(2·4,18) = 41,89 °C

Відповідь

tout = 41,89 °C
4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁc = 0,549 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Qh = 0,5·3,6·(120 − 60) = 108 kW

Теплота, що доходить до води

Qc = (1 − 0,15)·108 = 91,8 kW

Витрата води

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 91,8/(4,18·40) = 0,549 kg/s

Відповідь

ṁc = 0,549 kg/s
5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Wmax = 2250 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 475 + 273,15 = 748,1 K
TL = 20 + 273,15 = 293,1 K

ККД Карно

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 293,1/748,1 = 60,82 %

Максимальна робота

Wmax = ηmax·QH = 0,6082·3700 = 2250 kJ

Відповідь

Wmax = 2250 kJ
6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇmin = 0,3464 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 28 + 273,15 = 301,1 K
TL = 4 + 273,15 = 277,1 K

Найкращий можливий COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 277,1/(301,1 − 277,1) = 11,55

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇmin = Q̇L/COP = 4/11,55 = 0,3464 kW

Відповідь

Ẇmin = 0,3464 kW
7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T3 = 1351 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Кінець стиснення

T2 = 290·170,4 = 900,7 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T3 = rc·T2 = 1,5·900,7 = 1351 K

Відповідь

T3 = 1351 K
8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: wnet = 385,6 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k і η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Корисна робота w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує ws/ηc, а турбіна дає ηt·ws.

Ізоентропні температури

T2 = 300·80,2857 = 543,4 K
T4 = 1400/80,2857 = 772,9 K

Робота компресора й турбіни

wc = 1,005·(543,4 − 300) = 244,7 kJ/kg
wt = 1,005·(1400 − 772,9) = 630,3 kJ/kg

Корисна робота

wnet = 630,3 − 244,7 = 385,6 kJ/kg

Відповідь

wnet = 385,6 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: wc/wt = 38,82%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1