Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 20 g газу (Ar) при 300 kPa і 80 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 20 gM = 39,95 g/molP = 300 kPaT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (Ar) переходить від 300 kPa, 20 L, 25 °C до 500 kPa і 160 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 25 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Ct: 20 → 35 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 375 °C і холодним при 5 °C. Вона отримує 1400 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 375 °CT_L = 5 °CQ_H = 1400 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері -18 °C на кухні при 25 °C, відводячи з камери теплоту 5 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 25 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 19 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. На початку стиснення повітря має температуру 305 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 19r_c = 2,5T₁ = 305 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 6. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1500 K. Ізоентропний ККД компресора 85%, турбіни — 90%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 288 KT₃ = 1500 Kη_c = 85%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 4,9 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 20/39,95 = 0,5006 mol

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 0,5006·8,314·353,1/300 = 4,9 L

Відповідь

V = 4,9 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 17,43 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 298,1 K, T₂ = 433,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/500)·(433,1/298,1) = 17,43 L

Відповідь

V₂ = 17,43 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 62,3 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2,5·3,6·(170 − 140) = 270 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 270/(2·4,18) = 62,3 °C

Відповідь

t_out = 62,3 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,356 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1,5·2,1·(130 − 100) = 94,5 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·94,5 = 85,05 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 85,05/(4,18·15) = 1,356 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,356 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 799,2 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 375 + 273,15 = 648,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/648,1 = 57,09 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,5709·1400 = 799,2 kJ

Відповідь

W_max = 799,2 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,8426 kW

Абсолютні температури

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255,1/(298,1 − 255,1) = 5,934

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/5,934 = 0,8426 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,8426 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 1493 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 305·19^0,4 = 990,4 K

T₃ = 2,5·990,4 = 2476 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(2476 − 990,4) = 1493 kJ/kg

Відповідь

q_in = 1493 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 316 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 288·6^0,2857 = 480,5 K

T_4s = 1500/6^0,2857 = 899 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(480,5 − 288)/0,85 = 227,6 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1500 − 899) = 543,6 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 543,6 − 227,6 = 316 kJ/kg

Відповідь

w_net = 316 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 41,88%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1