Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 30 L містить 120 g газу (CO₂) при 90 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 120 gM = 44,01 g/molV = 30 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 550 kPa і 160 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 550 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 80 °Ct: 20 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 650 °C і холодним при 25 °C. Вона отримує 1000 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 650 °CT_L = 25 °CQ_H = 1000 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 1000 kJ теплоти від резервуара з температурою 900 °C, виконує 590 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 30 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 900 °CT_L = 30 °CQ_H = 1000 kJW = 590 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 19 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,2. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 19r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 8. Повітря надходить у компресор при 290 K, а в турбіну — при 1100 K. Ізоентропний ККД компресора 82%, турбіни — 92%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 290 KT₃ = 1100 Kη_c = 82%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 274,4 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 120/44,01 = 2,727 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Тиск

P = nRT/V = 2,727·8,314·363,1/0,03 = 274,4 kPa

Відповідь

P = 274,4 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 6,101 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Густина

ρ = 550·39,95/(8,314·433,1) = 6,101 kg/m³

Відповідь

ρ = 6,101 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 70,19 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2·2,1·(140 − 80) = 252 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 252/(1,5·4,18) = 70,19 °C

Відповідь

t_out = 70,19 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 3,416 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·2,1·(180 − 80) = 420 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·420 = 357 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 357/(4,18·25) = 3,416 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 3,416 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 677 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/923,1 = 67,7 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,677·1000 = 677 kJ

Відповідь

W_max = 677 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 0,5001 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 1000 − 590 = 410 kJ

Абсолютні температури

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −1000/1173 = −0,8524 kJ/K

ΔS_L = 410/303,1 = 1,352 kJ/K

S_gen = 1,352 − 0,8524 = 0,5001 kJ/K

Відповідь

S_gen = 0,5001 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 63,05 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Термічний ККД

η = 1 − 0,308·1,2 = 63,05%

Відповідь

η = 63,05%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 167,2 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 290·8^0,2857 = 525,3 K

T_4s = 1100/8^0,2857 = 607,2 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(525,3 − 290)/0,82 = 288,4 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1100 − 607,2) = 455,6 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 455,6 − 288,4 = 167,2 kJ/kg

Відповідь

w_net = 167,2 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 63,3%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1