Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 410 g газу (Ar) при 400 kPa і 60 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 410 gM = 39,95 g/molP = 400 kPaT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (He) при 100 kPa і 50 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 4,003 g/molP = 100 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 120 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Ct: 15 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 500 kJ теплоти від резервуара з температурою 200 °C і віддає 347 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 200 °CQ_H = 500 kJQ_L = 347 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері -20 °C на кухні при 28 °C, відводячи з камери теплоту 1 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 28 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 17 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 3. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 17r_c = 3k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r_p = 18k = 1,4

η = %

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 71,07 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 410/39,95 = 10,26 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 10,26·8,314·333,1/400 = 71,07 L

Відповідь

V = 71,07 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 0,149 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Густина

ρ = 100·4,003/(8,314·323,1) = 0,149 kg/m³

Відповідь

ρ = 0,149 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 29,46 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1·2,44·(170 − 120) = 122 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 122/(1,5·4,18) = 29,46 °C

Відповідь

t_out = 29,46 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 0,2252 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1·2,44·(170 − 140) = 73,2 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·73,2 = 65,88 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 65,88/(4,18·70) = 0,2252 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 0,2252 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 55,22 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 200 + 273,15 = 473,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 473,1·347/500 = 328,4 K = 55,22 °C

Відповідь

T_L = 55,22 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,1896 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253,1/(301,1 − 253,1) = 5,274

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/5,274 = 0,1896 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,1896 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 57,96 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Термічний ККД

η = 1 − 0,322·1,306 = 57,96%

Відповідь

η = 57,96%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 56,21 %

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Термічний ККД

η = 1 − 1/18^0,2857 = 1 − 1/2,284 = 56,21%

Відповідь

η = 56,21%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1