Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 90 g газу (He) при 700 kPa і 95 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 90 gM = 4,003 g/molP = 700 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (O₂) переходить від 350 kPa, 2 L, 35 °C до 150 kPa і 150 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 35 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 60 °Ct: 30 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 675 °C і холодним при 10 °C. Вона отримує 3000 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 675 °CT_L = 10 °CQ_H = 3000 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Два двигуни Карно працюють послідовно. Двигун A отримує теплоту від резервуара з температурою 500 °C і віддає теплоту проміжному резервуару з температурою T_m. Двигун B отримує всю цю теплоту й віддає теплоту резервуару з температурою 35 °C. Обидва двигуни виконують однакову роботу. Знайдіть T_m в °C.

T_H = 500 °CT_L = 35 °C

T_m = °C

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 17 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. На початку стиснення повітря має температуру 320 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 17r_c = 2,5T₁ = 320 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 8. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r_p = 8k = 1,4

η = %

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 98,31 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 90/4,003 = 22,48 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 22,48·8,314·368,1/700 = 98,31 L

Відповідь

V = 98,31 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 6,408 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 308,1 K, T₂ = 423,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/150)·(423,1/308,1) = 6,408 L

Відповідь

V₂ = 6,408 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 66,67 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1,5·3,6·(150 − 110) = 216 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 216/(1·4,18) = 66,67 °C

Відповідь

t_out = 66,67 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 6,136 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2,5·3,6·(180 − 60) = 1080 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,05)·1080 = 1026 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 1026/(4,18·40) = 6,136 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 6,136 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 2104 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 675 + 273,15 = 948,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/948,1 = 70,14 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,7014·3000 = 2104 kJ

Відповідь

W_max = 2104 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_m = 267,5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Однакова робота

W = Q·(1 − T_low/T_high), а Q/T однакове для кожного резервуара, тож W пропорційна перепаду температур.

T_m = (773,1 + 308,1)/2 = 540,6 K = 267,5 °C

Відповідь

T_m = 267,5 °C

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 1498 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 320·17^0,4 = 993,9 K

T₃ = 2,5·993,9 = 2485 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(2485 − 993,9) = 1498 kJ/kg

Відповідь

q_in = 1498 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 44,8 %

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Термічний ККД

η = 1 − 1/8^0,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Відповідь

η = 44,8%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1