Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 60 g газу (Ar) при 100 kPa і 0 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 60 gM = 39,95 g/molP = 100 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (He) при 650 kPa і 160 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 4,003 g/molP = 650 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 70 °Ct: 30 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 2500 kJ теплоти від резервуара з температурою 525 °C і віддає 871 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 525 °CQ_H = 2500 kJQ_L = 871 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 4700 kJ теплоти від резервуара з температурою 450 °C, виконує 1974 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 20 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 450 °CT_L = 20 °CQ_H = 4700 kJW = 1974 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 17 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 1,8. На початку стиснення повітря має температуру 290 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 17r_c = 1,8T₁ = 290 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 6. Повітря надходить у компресор при 310 K, а в турбіну — при 1300 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 34,11 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 60/39,95 = 1,502 mol

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 1,502·8,314·273,1/100 = 34,11 L

Відповідь

V = 34,11 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 0,7225 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Густина

ρ = 650·4,003/(8,314·433,1) = 0,7225 kg/m³

Відповідь

ρ = 0,7225 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 33,35 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·2,44·(150 − 110) = 48,8 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 48,8/(0,5·4,18) = 33,35 °C

Відповідь

t_out = 33,35 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 3,176 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·2,44·(150 − 70) = 390,4 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·390,4 = 331,8 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 331,8/(4,18·25) = 3,176 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 3,176 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 4,925 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 525 + 273,15 = 798,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 798,1·871/2500 = 278,1 K = 4,925 °C

Відповідь

T_L = 4,925 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 2,8 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 4700 − 1974 = 2726 kJ

Абсолютні температури

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −4700/723,1 = −6,499 kJ/K

ΔS_L = 2726/293,1 = 9,299 kJ/K

S_gen = 9,299 − 6,499 = 2,8 kJ/K

Відповідь

S_gen = 2,8 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 1621 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 290·17^0,4 = 900,7 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 1,8·900,7 = 1621 K

Відповідь

T₃ = 1621 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 315,2 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 310·6^0,2857 = 517,2 K

T₄ = 1300/6^0,2857 = 779,1 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(517,2 − 310) = 208,3 kJ/kg

w_t = 1,005·(1300 − 779,1) = 523,5 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 523,5 − 208,3 = 315,2 kJ/kg

Відповідь

w_net = 315,2 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 39,79%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1