Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 5 L містить 250 g газу (Ar) при 40 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 250 gM = 39,95 g/molV = 5 LT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (CO₂) при 100 kPa і 70 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 44,01 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 60 °Ct: 15 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 275 °C і холодним при 15 °C. Вона отримує 4600 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 275 °CT_L = 15 °CQ_H = 4600 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 3400 kJ теплоти від резервуара з температурою 650 °C, виконує 1836 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 30 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 650 °CT_L = 30 °CQ_H = 3400 kJW = 1836 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 19 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 1,8. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 19r_c = 1,8k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 14. Повітря надходить у компресор при 310 K, а в турбіну — при 1200 K. Ізоентропний ККД компресора 82%, турбіни — 90%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 14T₁ = 310 KT₃ = 1200 Kη_c = 82%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 3258 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 250/39,95 = 6,258 mol

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Тиск

P = nRT/V = 6,258·8,314·313,1/0,005 = 3258 kPa

Відповідь

P = 3258 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,543 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Густина

ρ = 100·44,01/(8,314·343,1) = 1,543 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,543 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 36,79 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2·2,1·(120 − 80) = 168 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 168/(1,5·4,18) = 36,79 °C

Відповідь

t_out = 36,79 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 4,026 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·3,6·(170 − 60) = 792 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·792 = 673,2 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 673,2/(4,18·40) = 4,026 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 4,026 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 2182 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 275 + 273,15 = 548,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/548,1 = 47,43 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,4743·4600 = 2182 kJ

Відповідь

W_max = 2182 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 1,476 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 3400 − 1836 = 1564 kJ

Абсолютні температури

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −3400/923,1 = −3,683 kJ/K

ΔS_L = 1564/303,1 = 5,159 kJ/K

S_gen = 5,159 − 3,683 = 1,476 kJ/K

Відповідь

S_gen = 1,476 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 64,88 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(1,8^1,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Термічний ККД

η = 1 − 0,308·1,14 = 64,88%

Відповідь

η = 64,88%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 147,1 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 310·14^0,2857 = 658,9 K

T_4s = 1200/14^0,2857 = 564,6 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(658,9 − 310)/0,82 = 427,6 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1200 − 564,6) = 574,7 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 574,7 − 427,6 = 147,1 kJ/kg

Відповідь

w_net = 147,1 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 74,4%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1