Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу
pV = nRT
Газова стала
R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон
p1V1/T1 = p2V2/T2
Молі
n = m/M
Температура
T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота
Q = ṁ·cp·ΔT
Прихована теплота
Q = ṁ·hfg
Змішування
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Вода
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД
η = W/QH = 1 − QC/QH
ККД Карно
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP холодильника
COPR = QC/W
COP теплового насоса
COPHP = QH/W = COPR + 1
Енергетичний баланс
QH = W + QC

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів
T2/T1 = rk−1
Ізоентропний процес, відношення тисків
T2/T1 = rp(k−1)/k
ККД циклу Отто
η = 1 − 1/rk−1
ККД циклу Дизеля
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ККД циклу Брайтона
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Підведена теплота
Отто: cv(T3 − T2) Дизель, Брайтон: cp(T3 − T2)
Корисна робота циклу Брайтона
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Ізоентропні ККД
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Холодне повітря
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня
430 g (CH₄)P = 800 kPaT = 45 °CV = ?

Який об’єм V займає 430 g газу (CH₄) при 800 kPa і 45 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 430 gM = 16,04 g/molP = 800 kPaT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Рівняння стану ідеального газуСкладна
N₂, M = 28,01 g/molP = 550 kPaT = 90 °Cρ = ?

Знайдіть густину ρ газу (N₂) при 550 kPa і 90 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 28,01 g/molP = 550 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Енергетичний балансСередня
гаряча сторонахолодна сторонагліколева суміш · 130 °C60 °Cвода · 15 °Ct = ? °C

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Енергетичний балансСкладна
гаряча сторонахолодна сторонаетанол · 130 °C60 °Cвода · 10 °C30 °C · ṁ = ?5% втрат

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁc.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 130 → 60 °Ct: 10 → 30 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %
ṁc = kg/s
5.Теплові машини й холодильникиСередня
TH​ = 575 °CTL​ = 10 °CEQH​ = 1300 kJQL​W = ?

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 575 °C і холодним при 10 °C. Вона отримує 1300 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу Wmax, яку вона могла б виконати.

TH = 575 °CTL = 10 °CQH = 1300 kJ
Wmax = kJ
6.Теплові машини й холодильникиСкладна
TH​ = 20 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 15 kWQ̇L​Ẇ = ?

Тепловий насос підтримує в будинку 20 °C, коли надворі 2 °C, і подає в будинок 15 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇmin.

TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 15 kW
Ẇmin = kW
7.Газові цикли теплових двигунівСередня
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 20 і ступінь попереднього розширення rc = v₃/v₂ = 2. На початку стиснення повітря має температуру 295 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту qin на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 20rc = 2T1 = 295 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.Газові цикли теплових двигунівСкладна
vP1234qin​qout​

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 6. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1100 K. Ізоентропний ККД компресора 85%, турбіни — 90%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу wnet на кілограм повітря, у kJ/kg.

rp = 6T1 = 288 KT3 = 1100 Kηc = 85%ηt = 90%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 88,64 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 430/16,04 = 26,81 mol
T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 26,81·8,314·318,1/800 = 88,64 L

Відповідь

V = 88,64 L
2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 5,102 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Густина

ρ = 550·28,01/(8,314·363,1) = 5,102 kg/m³

Відповідь

ρ = 5,102 kg/m³
3.Енергетичний баланс

Відповідь: tout = 30,07 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·3,6·(130 − 60) = 126 kW

Теплота, отримана водою

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 126/(2·4,18) = 30,07 °C

Відповідь

tout = 30,07 °C
4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁc = 1,941 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Qh = 1·2,44·(130 − 60) = 170,8 kW

Теплота, що доходить до води

Qc = (1 − 0,05)·170,8 = 162,3 kW

Витрата води

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 162,3/(4,18·20) = 1,941 kg/s

Відповідь

ṁc = 1,941 kg/s
5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Wmax = 866 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 575 + 273,15 = 848,1 K
TL = 10 + 273,15 = 283,1 K

ККД Карно

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 283,1/848,1 = 66,62 %

Максимальна робота

Wmax = ηmax·QH = 0,6662·1300 = 866 kJ

Відповідь

Wmax = 866 kJ
6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇmin = 0,921 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

Найкращий можливий COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293,1/(293,1 − 275,1) = 16,29

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇmin = Q̇H/COP = 15/16,29 = 0,921 kW

Відповідь

Ẇmin = 0,921 kW
7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: qin = 982,7 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Температури

T2 = 295·200,4 = 977,8 K
T3 = 2·977,8 = 1956 K

Теплота, підведена при сталому тиску

qin = 1,005·(1956 − 977,8) = 982,7 kJ/kg

Відповідь

qin = 982,7 kJ/kg
8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: wnet = 171 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k і η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Корисна робота w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує ws/ηc, а турбіна дає ηt·ws.

Ізоентропні температури

T2s = 288·60,2857 = 480,5 K
T4s = 1100/60,2857 = 659,3 K

Робота компресора й турбіни

wc = 1,005·(480,5 − 288)/0,85 = 227,6 kJ/kg
wt = 0,9·1,005·(1100 − 659,3) = 398,6 kJ/kg

Корисна робота

wnet = 398,6 − 227,6 = 171 kJ/kg

Відповідь

wnet = 171 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: wc/wt = 57,1%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1