Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 110 g газу (N₂) при 500 kPa і 30 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 110 gM = 28,01 g/molP = 500 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (O₂) переходить від 200 kPa, 20 L, 30 °C до 100 kPa і 90 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 20 LT₁ = 30 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 70 °Ct: 20 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 750 °C і холодним при 20 °C. Вона отримує 2600 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 750 °CT_L = 20 °CQ_H = 2600 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 4400 kJ теплоти від резервуара з температурою 300 °C, виконує 1276 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 20 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 300 °CT_L = 20 °CQ_H = 4400 kJW = 1276 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 22 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. На початку стиснення повітря має температуру 320 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 22r_c = 2,5T₁ = 320 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 10. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1300 K. Ізоентропний ККД компресора 80%, турбіни — 85%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 295 KT₃ = 1300 Kη_c = 80%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 19,8 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 110/28,01 = 3,927 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 3,927·8,314·303,1/500 = 19,8 L

Відповідь

V = 19,8 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 47,92 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 303,1 K, T₂ = 363,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(200/100)·(363,1/303,1) = 47,92 L

Відповідь

V₂ = 47,92 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 27,92 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·3,6·(150 − 90) = 108 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 108/(2·4,18) = 27,92 °C

Відповідь

t_out = 27,92 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 3,316 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 3·2,1·(180 − 70) = 693 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·693 = 623,7 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 623,7/(4,18·45) = 3,316 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 3,316 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 1855 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/1023 = 71,35 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,7135·2600 = 1855 kJ

Відповідь

W_max = 1855 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 2,98 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 4400 − 1276 = 3124 kJ

Абсолютні температури

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −4400/573,1 = −7,677 kJ/K

ΔS_L = 3124/293,1 = 10,66 kJ/K

S_gen = 10,66 − 7,677 = 2,98 kJ/K

Відповідь

S_gen = 2,98 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 2755 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 320·22^0,4 = 1102 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 2,5·1102 = 2755 K

Відповідь

T₃ = 2755 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 190,4 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 295·10^0,2857 = 569,6 K

T_4s = 1300/10^0,2857 = 673,3 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(569,6 − 295)/0,8 = 344,9 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1300 − 673,3) = 535,3 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 535,3 − 344,9 = 190,4 kJ/kg

Відповідь

w_net = 190,4 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 64,43%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1