Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 50 L містить 450 g газу (N₂) при 65 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 450 gM = 28,01 g/molV = 50 LT = 65 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 450 kPa і 80 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 450 kPaT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 70 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Ct: 15 → 35 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 225 °C і холодним при 30 °C. Вона отримує 500 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 225 °CT_L = 30 °CQ_H = 500 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 2000 kJ теплоти від резервуара з температурою 350 °C, виконує 600 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 35 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 350 °CT_L = 35 °CQ_H = 2000 kJW = 600 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 16 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 1,8. На початку стиснення повітря має температуру 310 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 16r_c = 1,8T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1400 K. Ізоентропний ККД компресора 80%, турбіни — 88%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 18T₁ = 295 KT₃ = 1400 Kη_c = 80%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 903,3 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 450/28,01 = 16,07 mol

T = 65 + 273,15 = 338,1 K

Тиск

P = nRT/V = 16,07·8,314·338,1/0,05 = 903,3 kPa

Відповідь

P = 903,3 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 6,123 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Густина

ρ = 450·39,95/(8,314·353,1) = 6,123 kg/m³

Відповідь

ρ = 6,123 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 92,97 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2,5·2,44·(120 − 70) = 305 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 305/(1·4,18) = 92,97 °C

Відповідь

t_out = 92,97 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 2,135 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·2,1·(150 − 100) = 210 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·210 = 178,5 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 178,5/(4,18·20) = 2,135 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 2,135 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 195,7 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 225 + 273,15 = 498,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/498,1 = 39,14 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,3914·500 = 195,7 kJ

Відповідь

W_max = 195,7 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 1,334 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 2000 − 600 = 1400 kJ

Абсолютні температури

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −2000/623,1 = −3,21 kJ/K

ΔS_L = 1400/308,1 = 4,543 kJ/K

S_gen = 4,543 − 3,21 = 1,334 kJ/K

Відповідь

S_gen = 1,334 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 755,6 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 310·16^0,4 = 939,7 K

T₃ = 1,8·939,7 = 1692 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(1692 − 939,7) = 755,6 kJ/kg

Відповідь

q_in = 755,6 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 220,2 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 295·18^0,2857 = 673,7 K

T_4s = 1400/18^0,2857 = 613 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(673,7 − 295)/0,8 = 475,8 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1400 − 613) = 696 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 696 − 475,8 = 220,2 kJ/kg

Відповідь

w_net = 220,2 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 68,36%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1