Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
t (s)x (cm)1,2 s

Вантаж масою 1,5 kg на пружині з k = 320 N/m відтягують на 5 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 1,2 s (зі знаком).

m = 1,5 kgk = 320 N/mA = 5 cmt = 1,2 s
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
1,8 kgk = 70 N/mA = 2 cm

Вантаж масою 1,8 kg на пружині з k = 70 N/m відтягують на 2 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.

m = 1,8 kgk = 70 N/mA = 2 cm
vmax = m/s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
FFdo​ = 40 cmf = 10 cm

Предмет стоїть на відстані 40 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 10 см. Знайдіть відстань до зображення di. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 для розсіювальної лінзи, di < 0 для уявного зображення).

do = 40 cmf = 10 cm
di = cm
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
θa​ = ?n1​ = 1,48n2​ = 1,43n0​ = 1,00

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,48 і оболонку з n₂ = 1,43. Знайдіть найбільший кут θa до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n1 = 1,48n2 = 1,43n0 = 1,00
θa = °

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,7079 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(320/1,5) = 14,61 rad/s
ω·t = 14,61·1,2 = 17,53 rad

Швидкість

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,05·14,61·sin(17,53) = 0,7079 m/s

Відповідь

v = 0,7079 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: vmax = 0,1247 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(70/1,8) = 6,236 rad/s

Найбільша швидкість

vmax = A·ω = 0,02·6,236 = 0,1247 m/s

Відповідь

vmax = 0,1247 m/s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: di = 13,33 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/40
di = 13,33 cm
FF40 cmf = 10 cm

Хід променів

дійсне, з іншого боку лінзи

Відповідь

di = 13,33 cm
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θa = 22,42 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,43/1,48 = 0,9662 → θc = 75,06°

Числова апертура

NA = √(1,48² − 1,43²) = 0,3814

Кут прийому

θa = arcsin(0,3814) = 22,42°

Відповідь

θa = 22,42°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics