Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 0,9 m має період 1,2 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.
L = 0,9 mT = 1,2 s
g = m/s²
2.Пружини й маятникиСкладна
Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 2,6 s і амплітудою 14 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 4,2 cm?
T = 2,6 sA = 14 cmx = 4,2 cm
t = s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 75 дБ на відстані 10 м від нього. Знайдіть рівень β2 на відстані 40 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.
β1 = 75 dBr1 = 10 mr2 = 40 m
β2 = dB
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 20 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 5 см і лінза 2 з f₂ = 5 см. Предмет стоїть на відстані 15 см перед лінзою 1. Знайдіть положення di2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).
f1 = 5 cmf2 = 5 cms = 20 cmdo = 15 cm
di2 = cm
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: g = 24,67 m/s²
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Знайдіть g
g = 4π²·L/T² = 4π²·0,9/1,2² = 24,67 m/s²
Відповідь
g = 24,67 m/s²
2.Пружини й маятники
Відповідь: t = 0,1261 s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Кутова частота
ω = 2π/T = 2π/2,6 = 2,417 rad/s
Виразіть час
0,3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,3) = 0,3047 rad
t = 0,3047/2,417 = 0,1261 s
Відповідь
t = 0,1261 s
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: β2 = 62,96 dB
Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).
Відношення інтенсивностей
I₂/I₁ = (10/40)² = 0,0625
Новий рівень
β₂ = 75 + 10·log₁₀(0,0625) = 62,96 dB
Відповідь
β2 = 62,96 dB
Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: di2 = 8,333 cm
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Зображення від лінзи 1
1/di1 = 1/5 − 1/15 → di1 = 7,5 cm
Предмет для лінзи 2
do2 = 20 − 7,5 = 12,5 cm
Кінцеве зображення
1/di2 = 1/5 − 1/12,5 → di2 = 8,333 cm
Відповідь
di2 = 8,333 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics