Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Вантаж масою 1,2 kg на пружині з k = 120 N/m відтягують на 3 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 0,3 s (зі знаком).
m = 1,2 kgk = 120 N/mA = 3 cmt = 0,3 s
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 2,8 s і амплітудою 12 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 9 cm?
T = 2,8 sA = 12 cmx = 9 cm
t = s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «вода» (n = 1,33). Знайдіть критичний кут θc, за яким воно повністю відбивається.
n1 = 2,42n2 = 1,33
θc = °
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 40 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 8 см і лінза 2 з f₂ = −20 см. Предмет стоїть на відстані 20 см перед лінзою 1. Знайдіть положення di2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).
f1 = 8 cmf2 = −20 cms = 40 cmdo = 20 cm
di2 = cm
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: v = −0,04234 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(120/1,2) = 10 rad/s
ω·t = 10·0,3 = 3 rad
Швидкість
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,03·10·sin(3) = −0,04234 m/s
Відповідь
v = −0,04234 m/s
2.Пружини й маятники
Відповідь: t = 0,3779 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Кутова частота
ω = 2π/T = 2π/2,8 = 2,244 rad/s
Виразіть час
0,75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,75) = 0,8481 rad
t = 0,8481/2,244 = 0,3779 s
Відповідь
t = 0,3779 s
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: θc = 33,34 °
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Заломлення на 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,33/2,42 = 0,5496
Критичний кут
θc = arcsin(0,5496) = 33,34°
Відповідь
θc = 33,34°
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: di2 = −11,43 cm
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Зображення від лінзи 1
1/di1 = 1/8 − 1/20 → di1 = 13,33 cm
Предмет для лінзи 2
do2 = 40 − 13,33 = 26,67 cm
Кінцеве зображення
1/di2 = 1/(−20) − 1/26,67 → di2 = −11,43 cm
Відповідь
di2 = −11,43 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics