Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
0,6 kgk = 330 N/mA = 10 cmx = 4 cm

Вантаж масою 0,6 kg на пружині з k = 330 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 10 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.

m = 0,6 kgk = 330 N/mA = 10 cmx = 4 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
1,9 kgk = 480 N/mA = 4 cm

Вантаж масою 1,9 kg на пружині з k = 480 N/m відтягують на 4 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.

m = 1,9 kgk = 480 N/mA = 4 cm
vmax = m/s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
L = ?n = 1

Труба, відкрита з обох кінців: основна частота (перша гармоніка) має становити 214 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 1f1 = 214 Hz
L = m
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Fdo​ = 40 cmR = 16 cm

Предмет розташований на відстані 40 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 16 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

do = 40 cmR = 16 cm
m =

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 2,149 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(330/0,6) = 23,45 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 23,45·√(0,1² − 0,04²) = 2,149 m/s

Відповідь

v = 2,149 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: vmax = 0,6358 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(480/1,9) = 15,89 rad/s

Найбільша швидкість

vmax = A·ω = 0,04·15,89 = 0,6358 m/s

Відповідь

vmax = 0,6358 m/s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,8014 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/214 = 1,603 m

Довжина

L = nλ/2 = 1·1,603/2 = 0,8014 m

Відповідь

L = 0,8014 m
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,25

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 8 cm

Рівняння дзеркала

1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/40
di = 10 cm
F40 cmf = 8 cm

Збільшення

m = −10/40 = −0,25

Відповідь

m = −0,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics