1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 4 діб. Зразок спочатку містить 50 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 7 діб?
m0 = 50 mgt½ = 4 dt = 7 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 500 при t = 0 і 750 при t = 3 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 500y(3) = 750
k = h⁻¹
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 500 °C залишили остигати в цеху з температурою 26 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,02 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 30 min.
T0 = 500 °CTa = 26 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 30 min
T = °C
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 6y′ + 8y = 0 при y(0) = 4 і y′(0) = 2. Знайдіть y(2).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 2
y(2) =
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 8y = 16 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(1); кути в радіанах.
y″ + 4y′ + 8y = 16y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 8y = 16 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 8y = 16y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. m = 14,87 mg
- 2. k = 0,1352 h⁻¹
- 3. T = 286,1 °C
- 4. y(2) = 0,1632
- 5. y(1) = 1,867
- 6. ymax = 2,086
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.