1.Легка
Для рівняння y″ + 5y′ + 6y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 3y′ + 25y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 3y′ + 25y = 0
ζ =
3.Середня
Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 28 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,09 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 21 min.
T0 = 3 °CTa = 28 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 21 min
T = °C
4.Середня
Чашку кави температурою 95 °C залишили в кімнаті з температурою 22 °C. Через 30 min її температура становить 31 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 26 °C?
T0 = 95 °CTa = 22 °CT(30) = 31 °CT = 26 °C
t = min
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 20y = 200 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 25,25y = 25,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. r = −2
- 2. ζ = 0,3
- 3. T = 24,22 °C
- 4. t = 41,62 min
- 5. ymax = 12,08
- 6. ymax = 1,73
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.