1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 6,4y′ + 64y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 6,4y′ + 64y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 8y′ + 25y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 8y′ + 25y = 0
ζ =
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 400 °C залишили остигати в цеху з температурою 26 °C. Через 41 min її температура становить 191 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 275 °C?
T0 = 400 °CTa = 26 °CT(41) = 191 °CT = 275 °C
t = min
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 460 °C залишили остигати в цеху з температурою 22 °C. Через 17 min її температура становить 334 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 460 °CTa = 22 °CT(17) = 334 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Розв’яжіть y″ + 2y′ + 10y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1,5); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1.5) =
6.Складна
Бак містить 100 L чистої води. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 2 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 10 min?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,4
- 2. ζ = 0,8
- 3. t = 20,38 min
- 4. k = 0,01995 min⁻¹
- 5. y(1.5) = −0,1197
- 6. m = 0,9063 kg
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.