1.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 120 при t = 0 і 96 при t = 11 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 120y(11) = 96
k = h⁻¹
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 13 діб. Зразок спочатку містить 20 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 29 діб?
m0 = 20 mgt½ = 13 dt = 29 d
m = mg
3.Середня
Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 24 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,03 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 22 min.
T0 = 3 °CTa = 24 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 22 min
T = °C
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 360 °C залишили остигати в цеху з температурою 27 °C. Через 49 min її температура становить 104 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 27 °CT(49) = 104 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Бак містить 1000 L води, у якій розчинено 10 kg солі. Розсіл із 0,1 kg солі на літр надходить зі швидкістю 5 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 100 min?
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.Складна
Розв’яжіть y′ + 0,5y = 10e−t при y(0) = 4. Знайдіть y(2).
y′ + 0,5y = 10e−ty(0) = 4
y(2) =
Ключ відповідей
- 1. k = 0,02029 h⁻¹
- 2. m = 4,261 mg
- 3. T = 13,15 °C
- 4. k = 0,02988 min⁻¹
- 5. m = 45,41 kg
- 6. y(2) = 6,122
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.