1.Легка
Бактеріальна культура починається з 5000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,38 h⁻¹. Скільки клітин N буде через 12 h?
N0 = 5000k = 0,38 h⁻¹t = 12 h
N =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 80 при t = 0 і 224 при t = 12 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 80y(12) = 224
k = h⁻¹
3.Середня
Чашку кави температурою 87 °C залишили в кімнаті з температурою 19 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,03 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 23 min.
T0 = 87 °CTa = 19 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 23 min
T = °C
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 7y′ + 12y = 0 при y(0) = 2 і y′(0) = -2. Знайдіть y(1,5).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1.5) =
5.Складна
Бак містить 100 L води, у якій розчинено 5 kg солі. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 10 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 15 kg солі?
V = 100 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min
t = min
6.Складна
Розв’яжіть y″ + y′ + 4,25y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,5); кути в радіанах.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
Ключ відповідей
- 1. N = 477917
- 2. k = 0,0858 h⁻¹
- 3. T = 53,11 °C
- 4. y(1.5) = 0,05674
- 5. t = 6,931 min
- 6. y(0.5) = 0,5846
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.