1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 29 діб. Зразок спочатку містить 10 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 15 діб?
m0 = 10 mgt½ = 29 dt = 15 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 4,8y′ + 16y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 4,8y′ + 16y = 0
ζ =
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 360 °C залишили остигати в цеху з температурою 20 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,01 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 49 min.
T0 = 360 °CTa = 20 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 49 min
T = °C
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 320 °C залишили остигати в цеху з температурою 22 °C. Через 23 min її температура становить 171 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 22 °CT(23) = 171 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Бак містить 1000 L чистої води. Розсіл із 0,1 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 5 min?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
Ключ відповідей
- 1. m = 6,987 mg
- 2. ζ = 0,6
- 3. T = 228,3 °C
- 4. k = 0,03014 min⁻¹
- 5. ymax = 2,416
- 6. m = 1,98 kg
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.