1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 3,2y′ + 16y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 3,2y′ + 16y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 11 діб. Зразок спочатку містить 200 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 28 діб?
m0 = 200 mgt½ = 11 dt = 28 d
m = mg
3.Середня
Банку газованого напою температурою 5 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 23 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,09 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 20 min.
T0 = 5 °CTa = 23 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 20 min
T = °C
4.Середня
Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 30 °C. Через 15 min її температура становить 17 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 26 °C?
T0 = 3 °CTa = 30 °CT(15) = 17 °CT = 26 °C
t = min
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 13y = 65 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Розв’яжіть y″ + 2y′ + 26y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,4
- 2. m = 34,26 mg
- 3. T = 20,02 °C
- 4. t = 39,19 min
- 5. ymax = 5,616
- 6. y(0.75) = −0,4416
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.