1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 18 діб. Зразок спочатку містить 40 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 7 діб?
m0 = 40 mgt½ = 18 dt = 7 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Бактеріальна культура починається з 5000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,25 h⁻¹. Скільки клітин N буде через 16 h?
N0 = 5000k = 0,25 h⁻¹t = 16 h
N =
3.Середня
Чашку кави температурою 83 °C залишили в кімнаті з температурою 24 °C. Через 26 min її температура становить 36 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 83 °CTa = 24 °CT(26) = 36 °C
k = min⁻¹
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 7y′ + 10y = 0 при y(0) = 2 і y′(0) = -2. Знайдіть y(1).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1) =
5.Складна
Розв’яжіть y″ + y′ + 9,25y = 0 при y(0) = 2 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1); кути в радіанах.
y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,5); кути в радіанах.
y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Ключ відповідей
- 1. m = 30,55 mg
- 2. N = 272991
- 3. k = 0,06126 min⁻¹
- 4. y(1) = 0,3564
- 5. y(1) = −1,172
- 6. y(0.5) = 1,462
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.