1.Легка
Для рівняння y″ + 7y′ + 6y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.
y″ + 7y′ + 6y = 0
r =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 100 при t = 0 і 180 при t = 10 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 100y(10) = 180
k = h⁻¹
3.Середня
Чашку кави температурою 84 °C залишили в кімнаті з температурою 23 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,09 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 19 min.
T0 = 84 °CTa = 23 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 19 min
T = °C
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 420 °C залишили остигати в цеху з температурою 20 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,04 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 60 min.
T0 = 420 °CTa = 20 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 60 min
T = °C
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 2y′ + 17y = 170 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,5); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(1); кути в радіанах.
y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
Ключ відповідей
- 1. r = −1
- 2. k = 0,05878 h⁻¹
- 3. T = 34,03 °C
- 4. T = 56,29 °C
- 5. y(0.5) = 11,15
- 6. y(1) = 2,41
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.