1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 6y′ + 36y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 6y′ + 36y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Бактеріальна культура починається з 2000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,36 h⁻¹. Через скільки годин t буде 20000 клітин?
N0 = 2000k = 0,36 h⁻¹N = 20000
t = h
3.Середня
Розв’яжіть y″ + 8y′ + 15y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = -2. Знайдіть y(1,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(1.5) =
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 360 °C залишили остигати в цеху з температурою 25 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,04 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 18 min.
T0 = 360 °CTa = 25 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 18 min
T = °C
5.Складна
Розв’яжіть y′ + 2y = 8e−3t при y(0) = 0. Знайдіть y(1).
y′ + 2y = 8e−3ty(0) = 0
y(1) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 2y′ + 10y = 10 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,25); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 10y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,5
- 2. t = 6,396 h
- 3. y(1.5) = 0,1242
- 4. T = 188,1 °C
- 5. y(1) = 0,6844
- 6. y(0.25) = 0,2532
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.