1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 0,4y′ + 4y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 0,4y′ + 4y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 1,6y′ + 16y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 1,6y′ + 16y = 0
ζ =
3.Середня
Чашку кави температурою 80 °C залишили в кімнаті з температурою 21 °C. Через 14 min її температура становить 50 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 38 °C?
T0 = 80 °CTa = 21 °CT(14) = 50 °CT = 38 °C
t = min
4.Середня
Чашку кави температурою 86 °C залишили в кімнаті з температурою 21 °C. Через 30 min її температура становить 23 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 86 °CTa = 21 °CT(30) = 23 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 8y = 8 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,5); кути в радіанах.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 20y = 100 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,1
- 2. ζ = 0,2
- 3. t = 24,53 min
- 4. k = 0,116 min⁻¹
- 5. y(0.5) = 0,4917
- 6. ymax = 6,039
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.