1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 4 діб. Зразок спочатку містить 100 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 11 діб?
m0 = 100 mgt½ = 4 dt = 11 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 500 при t = 0 і 225 при t = 6 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 500y(6) = 225
k = h⁻¹
3.Середня
Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 30 °C. Через 5 min її температура становить 12 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 9 °C?
T0 = 3 °CTa = 30 °CT(5) = 12 °CT = 9 °C
t = min
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 3y′ + 2y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 6. Знайдіть y(1,5).
y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 5y′(0) = 6
y(1.5) =
5.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 9,25y = 18,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + 2y/x = 6x2 при x > 0, y(1) = 5. Знайдіть y(2).
y′ + 2y/x = 6x2y(1) = 5
y(2) =
Ключ відповідей
- 1. m = 14,87 mg
- 2. k = 0,1331 h⁻¹
- 3. t = 3,099 min
- 4. y(1.5) = 3,022
- 5. ymax = 3,185
- 6. y(2) = 10,55
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.