1.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 120 при t = 0 і 72 при t = 10 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 120y(10) = 72
k = h⁻¹
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Бактеріальна культура починається з 5000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,15 h⁻¹. Через скільки годин t буде 10000 клітин?
N0 = 5000k = 0,15 h⁻¹N = 10000
t = h
3.Середня
Чашку кави температурою 89 °C залишили в кімнаті з температурою 18 °C. Через 17 min її температура становить 33 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 89 °CTa = 18 °CT(17) = 33 °C
k = min⁻¹
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 360 °C залишили остигати в цеху з температурою 22 °C. Через 19 min її температура становить 302 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 22 °CT(19) = 302 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 4,25y = 21,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + y′ + 4,25y = 21,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Бак містить 100 L води, у якій розчинено 5 kg солі. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 2 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 11 kg солі?
V = 100 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
Ключ відповідей
- 1. k = 0,05108 h⁻¹
- 2. t = 4,621 h
- 3. k = 0,09145 min⁻¹
- 4. k = 0,009908 min⁻¹
- 5. ymax = 7,28
- 6. t = 17,83 min
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.