1.Легка
Бактеріальна культура починається з 2000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,19 h⁻¹. Через скільки годин t буде 10000 клітин?
N0 = 2000k = 0,19 h⁻¹N = 10000
t = h
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Для рівняння y″ + 5y′ + 6y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 300 °C залишили остигати в цеху з температурою 29 °C. Через 20 min її температура становить 251 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 276 °C?
T0 = 300 °CTa = 29 °CT(20) = 251 °CT = 276 °C
t = min
4.Середня
Банку газованого напою температурою 6 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 25 °C. Через 14 min її температура становить 14 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 25 °CT(14) = 14 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 20y = 40 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 29y = 29 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. t = 8,471 h
- 2. r = −2
- 3. t = 9,299 min
- 4. k = 0,03904 min⁻¹
- 5. ymax = 2,416
- 6. ymax = 1,285
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.