1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 17 діб. Зразок спочатку містить 80 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 67 діб?
m0 = 80 mgt½ = 17 dt = 67 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 0,8y′ + 16y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 0,8y′ + 16y = 0
ζ =
3.Середня
Чашку кави температурою 87 °C залишили в кімнаті з температурою 23 °C. Через 23 min її температура становить 49 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 87 °CTa = 23 °CT(23) = 49 °C
k = min⁻¹
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 7y′ + 10y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = -2. Знайдіть y(1).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(1) =
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 13y = 130 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Розв’яжіть y′ + y = 3e−2t при y(0) = 0. Знайдіть y(0,5).
y′ + y = 3e−2ty(0) = 0
y(0.5) =
Ключ відповідей
- 1. m = 5,208 mg
- 2. ζ = 0,1
- 3. k = 0,03916 min⁻¹
- 4. y(1) = 1,02
- 5. ymax = 11,23
- 6. y(0.5) = 0,716
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.