1.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 120 при t = 0 і 30 при t = 11 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 120y(11) = 30
k = h⁻¹
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 4,8y′ + 36y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 4,8y′ + 36y = 0
ζ =
3.Середня
Розв’яжіть y″ + 4y′ + 4y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 0. Знайдіть y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(2) =
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 320 °C залишили остигати в цеху з температурою 20 °C. Через 48 min її температура становить 91 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 20 °CT(48) = 91 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Бак містить 400 L води, у якій розчинено 20 kg солі. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 10 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 44 kg солі?
V = 400 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min
t = min
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 3y′ + 6,25y = 6,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,5); кути в радіанах.
y″ + 3y′ + 6,25y = 6,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Ключ відповідей
- 1. k = 0,126 h⁻¹
- 2. ζ = 0,4
- 3. y(2) = 0,2747
- 4. k = 0,03002 min⁻¹
- 5. t = 14,27 min
- 6. y(0.5) = 0,4467
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.