1.Легка
Для рівняння y″ + 5y′ + 6y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 250 при t = 0 і 525 при t = 7 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 250y(7) = 525
k = h⁻¹
3.Середня
Чашку кави температурою 83 °C залишили в кімнаті з температурою 20 °C. Через 9 min її температура становить 60 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 83 °CTa = 20 °CT(9) = 60 °C
k = min⁻¹
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 300 °C залишили остигати в цеху з температурою 23 °C. Через 22 min її температура становить 166 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 95 °C?
T0 = 300 °CTa = 23 °CT(22) = 166 °CT = 95 °C
t = min
5.Складна
Бак містить 100 L чистої води. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 10 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 10 min?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
6.Складна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + y/x = 2x2 при x > 0, y(1) = 4. Знайдіть y(2).
y′ + y/x = 2x2y(1) = 4
y(2) =
Ключ відповідей
- 1. r = −2
- 2. k = 0,106 h⁻¹
- 3. k = 0,05047 min⁻¹
- 4. t = 44,83 min
- 5. m = 3,161 kg
- 6. y(2) = 5,75
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.