1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 7y′ + 25y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 7y′ + 25y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Бактеріальна культура починається з 2000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,14 h⁻¹. Через скільки годин t буде 20000 клітин?
N0 = 2000k = 0,14 h⁻¹N = 20000
t = h
3.Середня
Банку газованого напою температурою 6 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 23 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,09 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 9 min.
T0 = 6 °CTa = 23 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 9 min
T = °C
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 500 °C залишили остигати в цеху з температурою 27 °C. Через 38 min її температура становить 178 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 500 °CTa = 27 °CT(38) = 178 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Розв’яжіть y″ + 4y′ + 8y = 0 при y(0) = 2 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1,5); кути в радіанах.
y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1.5) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 2y′ + 26y = 260 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(1); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 26y = 260y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,7
- 2. t = 16,45 h
- 3. T = 15,44 °C
- 4. k = 0,03005 min⁻¹
- 5. y(1.5) = −0,08453
- 6. y(1) = 9,662
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.