1.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 200 при t = 0 і 70 при t = 6 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 200y(6) = 70
k = h⁻¹
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Бактеріальна культура починається з 5000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,22 h⁻¹. Скільки клітин N буде через 3 h?
N0 = 5000k = 0,22 h⁻¹t = 3 h
N =
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 420 °C залишили остигати в цеху з температурою 29 °C. Через 59 min її температура становить 49 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 29 °CT(59) = 49 °C
k = min⁻¹
4.Середня
Чашку кави температурою 81 °C залишили в кімнаті з температурою 18 °C. Через 28 min її температура становить 21 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 63 °C?
T0 = 81 °CTa = 18 °CT(28) = 21 °CT = 63 °C
t = min
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 29y = 58 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 4,25y = 8,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. k = 0,175 h⁻¹
- 2. N = 9674
- 3. k = 0,05039 min⁻¹
- 4. t = 3,094 min
- 5. y(0.75) = 2,468
- 6. ymax = 2,912
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.