1.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 80 при t = 0 і 28 при t = 5 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 80y(5) = 28
k = h⁻¹
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 500 при t = 0 і 1900 при t = 5 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 500y(5) = 1900
k = h⁻¹
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 300 °C залишили остигати в цеху з температурою 28 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,02 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 38 min.
T0 = 300 °CTa = 28 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 38 min
T = °C
4.Середня
Чашку кави температурою 83 °C залишили в кімнаті з температурою 22 °C. Через 14 min її температура становить 62 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 40 °C?
T0 = 83 °CTa = 22 °CT(14) = 62 °CT = 40 °C
t = min
5.Складна
Бак містить 500 L чистої води. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 40 min?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 8y = 40 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
Ключ відповідей
- 1. k = 0,21 h⁻¹
- 2. k = 0,267 h⁻¹
- 3. T = 155,2 °C
- 4. t = 40,49 min
- 5. m = 34,23 kg
- 6. y(0.75) = 3,808
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.