1.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 500 при t = 0 і 1150 при t = 8 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 500y(8) = 1150
k = h⁻¹
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 30 діб. Зразок спочатку містить 50 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 33 діб?
m0 = 50 mgt½ = 30 dt = 33 d
m = mg
3.Середня
Банку газованого напою температурою 4 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 27 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,06 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 12 min.
T0 = 4 °CTa = 27 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 12 min
T = °C
4.Середня
Банку газованого напою температурою 4 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 30 °C. Через 26 min її температура становить 21 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 26 °C?
T0 = 4 °CTa = 30 °CT(26) = 21 °CT = 26 °C
t = min
5.Складна
Розв’яжіть y′ + 3y = 2e−0,5t при y(0) = 4. Знайдіть y(1,5).
y′ + 3y = 2e−0,5ty(0) = 4
y(1.5) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 9,25y = 46,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + y′ + 9,25y = 46,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
Ключ відповідей
- 1. k = 0,1041 h⁻¹
- 2. m = 23,33 mg
- 3. T = 15,8 °C
- 4. t = 45,87 min
- 5. y(1.5) = 0,4134
- 6. y(0.75) = 6,713
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.