1.Легка
Бактеріальна культура починається з 5000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,37 h⁻¹. Скільки клітин N буде через 16 h?
N0 = 5000k = 0,37 h⁻¹t = 16 h
N =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Для рівняння y″ + 6y′ + 5y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
3.Середня
Чашку кави температурою 90 °C залишили в кімнаті з температурою 20 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,08 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 16 min.
T0 = 90 °CTa = 20 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 16 min
T = °C
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 440 °C залишили остигати в цеху з температурою 21 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,05 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 25 min.
T0 = 440 °CTa = 21 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 25 min
T = °C
5.Складна
Розв’яжіть y″ + 2y′ + 10y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1,5); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
6.Складна
Розв’яжіть y″ + 3y′ + 6,25y = 0 при y(0) = 10 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1); кути в радіанах.
y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1) =
Ключ відповідей
- 1. N = 1,862 × 10⁶
- 2. r = −1
- 3. T = 39,46 °C
- 4. T = 141 °C
- 5. y(1.5) = −0,5987
- 6. y(1) = 0,5931
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.