1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 21 діб. Зразок спочатку містить 40 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 7 діб?
m0 = 40 mgt½ = 21 dt = 7 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Для рівняння y″ + 6y′ + 8y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.Середня
Чашку кави температурою 93 °C залишили в кімнаті з температурою 24 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,07 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 13 min.
T0 = 93 °CTa = 24 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 13 min
T = °C
4.Середня
Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 29 °C. Через 25 min її температура становить 17 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 22 °C?
T0 = 3 °CTa = 29 °CT(25) = 17 °CT = 22 °C
t = min
5.Складна
Розв’яжіть y″ + y′ + 25,25y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,25); кути в радіанах.
y″ + y′ + 25,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Складна
Розв’яжіть y″ + 2y′ + 10y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
Ключ відповідей
- 1. m = 31,75 mg
- 2. r = −2
- 3. T = 51,77 °C
- 4. t = 42,43 min
- 5. y(0.25) = 1,086
- 6. y(1) = −0,3469
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.