1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 12 діб. Зразок спочатку містить 40 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 45 діб?
m0 = 40 mgt½ = 12 dt = 45 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Бактеріальна культура починається з 1000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,11 h⁻¹. Скільки клітин N буде через 3 h?
N0 = 1000k = 0,11 h⁻¹t = 3 h
N =
3.Середня
Банку газованого напою температурою 4 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 22 °C. Через 12 min її температура становить 9 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 16 °C?
T0 = 4 °CTa = 22 °CT(12) = 9 °CT = 16 °C
t = min
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 6y′ + 8y = 0 при y(0) = 4 і y′(0) = 4. Знайдіть y(1,5).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 4
y(1.5) =
5.Складна
Бак містить 100 L води, у якій розчинено 20 kg солі. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 2 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 23 kg солі?
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.Складна
Розв’яжіть y″ + y′ + 16,25y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,25); кути в радіанах.
y″ + y′ + 16,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.25) =
Ключ відповідей
- 1. m = 2,973 mg
- 2. N = 1391
- 3. t = 40,51 min
- 4. y(1.5) = 0,483
- 5. t = 45,81 min
- 6. y(0.25) = 0,5696
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.