1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 4,8y′ + 4y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 100 при t = 0 і 370 при t = 2 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 100y(2) = 370
k = h⁻¹
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 320 °C залишили остигати в цеху з температурою 20 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,02 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 46 min.
T0 = 320 °CTa = 20 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 46 min
T = °C
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 400 °C залишили остигати в цеху з температурою 29 °C. Через 39 min її температура становить 280 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 129 °C?
T0 = 400 °CTa = 29 °CT(39) = 280 °CT = 129 °C
t = min
5.Складна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + y/x = 1 при x > 0, y(1) = 1. Знайдіть y(3).
y′ + y/x = 1y(1) = 1
y(3) =
6.Складна
Бак містить 100 L води, у якій розчинено 20 kg солі. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 30 min?
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
Ключ відповідей
- 1. ζ = 1,2
- 2. k = 0,6542 h⁻¹
- 3. T = 139,6 °C
- 4. t = 130,9 min
- 5. y(3) = 1,667
- 6. m = 9,518 kg
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.