1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 6y′ + 36y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 6y′ + 36y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 120 при t = 0 і 54 при t = 9 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 120y(9) = 54
k = h⁻¹
3.Середня
Розв’яжіть y″ + 2y′ + y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = -2. Знайдіть y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(0.5) =
4.Середня
Банку газованого напою температурою 6 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 29 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,1 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 6 min.
T0 = 6 °CTa = 29 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 6 min
T = °C
5.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 9,25y = 92,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,5); кути в радіанах.
y″ + y′ + 9,25y = 92,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 16,25y = 162,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,5
- 2. k = 0,08872 h⁻¹
- 3. y(0.5) = 2,123
- 4. T = 16,38 °C
- 5. y(0.5) = 8,154
- 6. ymax = 16,75
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.