1.Легка
Бактеріальна культура починається з 1000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,22 h⁻¹. Через скільки годин t буде 3000 клітин?
N0 = 1000k = 0,22 h⁻¹N = 3000
t = h
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 9 діб. Зразок спочатку містить 50 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 4 діб?
m0 = 50 mgt½ = 9 dt = 4 d
m = mg
3.Середня
Розв’яжіть y″ + 7y′ + 10y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 4. Знайдіть y(0,5).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 3y′(0) = 4
y(0.5) =
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 420 °C залишили остигати в цеху з температурою 20 °C. Через 36 min її температура становить 115 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 20 °CT(36) = 115 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Бак містить 400 L води, у якій розчинено 5 kg солі. Розсіл із 0,2 kg солі на літр надходить зі швидкістю 20 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 10 min?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.Складна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + y/x = x при x > 0, y(1) = 0. Знайдіть y(2).
y′ + y/x = xy(1) = 0
y(2) =
Ключ відповідей
- 1. t = 4,994 h
- 2. m = 36,74 mg
- 3. y(0.5) = 2,056
- 4. k = 0,03993 min⁻¹
- 5. m = 34,51 kg
- 6. y(2) = 1,167
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.